可微与可导的关系乐通LT118 可微和可导有什么区别?

2022-01-05 14:24:03 乐通LT118

1, 可微和可导有什么区别?

可微与可导的关系乐通LT118 可微和可导有什么区别?


一元函数中可导与可微等价,它们与可积无关。 多元函数可微必可导,而反之不成立。
即:在一元函数里,可导是可微的充分必要条件;
在多元函数里,可导是可微的必要条件,可微是可导的充分条件。
扩展资料:可微:设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A*Δx+ο(Δx),其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即dy=A*Δx,当x= x0时,则记作dy∣x=x0。
可导:即设y=f(x)是一个单变量函数, 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数
2, 可微与可导之间的联系是什么?

可微与可导的关系乐通LT118 可微和可导有什么区别?


对于这种问题一切都要从定义出发讨论,不要臆想,这样的话看到三楼这样大段的忽悠就不会上当了。
首先明确,一楼的结论正确,只想记结论的话到此为止。
对于一元函数f(x),在定义域内部的一点x0,
如果lim{t->0} [f(x0+t)-f(x0)]/t 存在则称f在x0可导
如果存在与t无关的常数A使得
f(x0+t)-f(x0) = At + R
其中lim{t->0} R/t = 0
直接用这两个定义来验证可微等价于可导,并且A=f"(x0)
对于多元函数而言,一般导数就是Jacobi矩阵,或者说一组偏导数,可微的定义和上面一致,只要把R/t改成R/||t||即可。
直接用定义可以验证可微必定可导,那个常数矩阵A就是Jacobi矩阵。
但是反过来可导未必可微,甚至连连续性都不能保证,只要一个例子就够了
比如这种:f(x,y,z)=xyz/(x^3+y^3+z^3),f(0,0,0)=0
主要是因为偏导数及方向导数都只携带了部分信息,而可微需要很全面的光滑性。
最后,当x0的邻域内偏导数存在且连续的时候可以推出可微。
名词解释
可微

设函数y=f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即dy=A×Δx,当x=x0时,则记作dy∣x=x0。

导数

导数(Derivative)是微积分学中重要的基础概念,是函数的局部性质。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f"(x0)或df(x0)/dx。 不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。